Question

设G是△ABC的重心，且

3

3

a

GA

+b

GB

+c

GC

=

0

，如果b=4，则△ABC的面积是（　　）

• A、4
• B、2

  3

• C、4

  2

• D、4

  3

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由于G是△ABC的重心，可得

GA

+

GB

+

GC

=

0

，于是b

GA

+b

GB

+b

GC

=

0

，又

3

3

a

GA

+b

GB

+c

GC

=

0

，两式相减可得：a=

3

b，b=c．即可得出．

解答： 解：∵G是△ABC的重心，∴

GA

+

GB

+

GC

=

0

，
∴b

GA

+b

GB

+b

GC

=

0

，
又

3

3

a

GA

+b

GB

+c

GC

=

0

，
∴(

3

3

a-b)

GA

+(c-b)

GC

=

0

，
∴a=

3

b，b=c．
∴a=4

3

，b=c=4．
∴cosB=

2 3

4

=

3

2

，
∴sinB=

1-cos2B

=

1

2

．
∴△ABC的面积=

1

2

BA•BCsinB=

1

2

×4×4

3

×

1

2

=4

3

．
故选：D．

点评：本题考查了三角形的重心的性质、向量的运算、共面向量的基本定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．