Question

【题目】已知圆经过点，且圆心在直线：上.

（1）求圆的方程；

（2）过点的直线与圆交于两点，问在直线上是否存在定点，使得恒成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）在直线上存在定点，使得恒成立，详见解析

【解析】

（1）求出弦中垂线方程，由中垂线和直线相交得圆心坐标，再求出圆半径，从而得圆标准方程；

（2）直线斜率存在时，设方程为，代入圆的方程，得的一元二次方程，同时设交点为由韦达定理得，假设定点存在，设其为，由求得，再验证所作直线斜率不存在时，点也满足题意．

（1）的中点为，∴的垂直平分线的斜率为，

∴的垂直平分线的方程为，∴的垂直平分线与直线交点为圆心，则

，解得，

又．

∴ 圆的方程为.

（2）当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则过点的直线方程为，故

由，整理得，

设，

设，则，

，

，

即

，

当斜率不存在时，成立，

∴在直线上存在定点，使得恒成立