Question

【题目】如图，已知四棱锥，底面为菱形，，,平面，分别是的中点。

（1）证明：；

（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值。

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）

【解析】

（1）证明，利用平面即可证得，问题得证。

（2）过点作于点，过点作于点，连接.当与垂直时，与平面所成最大角，利用该最大角的正切值为即可求得，证明就是二面角的一个平面角，解即可。

（1）因为底面为菱形，

所以为等边三角形，又为中点

所以，又

所以

因为平面，平面

所以，又

所以平面

（2）过点作于点，过点作于点，连接

当与垂直时，与平面所成最大角.

由（1）得，此时.所以就是与平面所成的角.

在中，由题意可得：,又

所以.

设，在中由等面积法得：

解得：，所以

因为平面，平面

所以平面平面，

又平面平面，，平面

所以平面，又平面

所以，又，

所以平面，

所以

所以就是二面角的一个平面角

因为为的中点，且

所以，又

所以

在中，求得：,,

由可得：,即：，解得：

所以

所以

所以二面角的余弦值为