题目内容
【题目】如图，四边形
是边长为2的正方形，
为
的中点，以
为折痕把
折起，使点
到达点
的位置，且
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）先由线面垂直的判定定理得到
平面
，进而可得平面
平面；
（2）先取
中点
，连结
，
，证明平面
平面
，在平面
内作
于
点，则
平面
. 以点为原点，
为
轴，
为
轴，如图建立空间直角坐标系.分别求出两平面的法向量，求向量夹角余弦值，即可求出结果.
（1）因为四边形
是正方形，所以折起后
，且
，
因为
，所以
是正三角形，所以
.
又因为正方形中，
为
的中点，所以
，所以
，
所以
，所以
，又因为
，所以平面.
又
平面
，所以平面平面.
（2）取中点，连结，，则
，
，
又
，则
平面.又
平面，所以平面平面.
在平面内作于点，则平面.
以点为原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系.
在
中，
，
，
.
∴
，
，故
，
，
，
∴
，
.
设平面
的一个法向量为
，则由
，得
，令
，得
，
，
∴
.
因为平面的法向量为
，
则
，
又二面角
为锐二面角，∴二面角的余弦值为.
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