Question

从甲、乙两名学生的若干次数学成绩中随机抽取6次，制得成绩数据的茎叶图如图所示．
（Ⅰ）根据茎叶图，求甲、乙两名学生的数学成绩的方差；
（Ⅱ）现从乙学生这6次数学成绩中随机抽取2次成绩，求这2次成绩至少有一次不低于85分的概率．

Answer 1

分析：（I）根据茎叶图，我们结合甲乙两名学生的成绩，我们可以求出两个人的平均成绩，进而计算出两个人的方差（或标准差）；
（II）乙学生这6次数学成绩中，不低于85分的有3次，计算随机抽取2次成绩的所有情况种数；求出其中2次成绩至少有一次不低于85分的情况种数，利用古典概型概率公式计算．

解答：解：（1）由样本数据得

.

x甲

=

77+78+81+86+93+95

6

=85，

.

x乙

=

76+80+82+85+92+95

6

=85，可知甲、乙学生平均水平相同；
由样本数据得s_甲²=

1

6

[（85-77）²+（85-78）²+（85-81）²+（85-86）²+（85-93）²+（85-95）²]=49，
s_乙²=

1

6

[（85-76）²+（85-80）²+（85-82）²+（85-85）²+（85-92）²+（85-95）²]=44，
乙学生比甲学生发挥更稳定．
（2）乙学生这6次数学成绩中，不低于85分的有3次，
随机抽取2次成绩有

C

2 6

=15种情况．
其中2次成绩至少有一次不低于85分的有

C

2 3

+

C

1 3

×

C

1 3

=12种情况，
∴这2次成绩至少有一次不低于85分的概率为

12

15

=

4

5

．

点评：本题考查古典概型及其概率计算公式，茎叶图，是统计和概率知识的综合考查，熟练掌握古典概型求解概率的方法和步骤是解答本题的关键．