Question

已知函数f（x）=

ax-1

ax+1

（a＞1），求：
（1）判断函数的奇偶性；
（2）证明f（x）是R上的增函数；
（3）求该函数的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的值域,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性；
（2）根据指数函数的单调性的性质即可证明f（x）是R上的增函数；
（3）根据指数函数的性质即可求该函数的值域．

解答： 解：（1）函数的定义域为R，
则f（-x）

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-

ax-1

ax+1

=-f（x），
则函数f（x）是奇函数；
（2）f（x）=

ax-1

ax+1

=

ax+1-2

ax+1

=1-

2

ax+1

，
∵a＞1，∴a^x是增函数，a^x+1是增函数，
则

2

ax+1

是减函数，-

2

ax+1

为增函数，
即f（x）=1-

2

ax+1

为增函数，
即f（x）是R上的增函数；
（3）∵f（x）=

ax-1

ax+1

=

ax+1-2

ax+1

=1-

2

ax+1

，a＞1，
∴a^x+1＞1，0＜

1

ax+1

＜1，0＜

2

ax+1

＜2，
-2＜-

2

ax+1

＜0，-1＜1-

2

ax+1

＜1，
即-1＜y＜1，
故函数的值域为（-1，1）．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据指数函数的性质是解决本题的关键．