Question

P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点。已知与共线，与共线，且，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。

Answer 1

解：∵，即MN⊥PQ，
当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时，另一条直线必垂直于y轴，
不妨设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴，
∵F(0，1)，
∴MN的方程为：y=1，PQ的方程为：x=0，
分别代入椭圆中得：|MN|=，|PQ|=2，
S_{四边形PMQN}=，
当MN，PQ都不与坐标轴垂直时，
设MN的方程为y=kx+1 (k≠0)，代入椭圆中得：(k²+2)x²+2kx-1=0，
∴x₁+x₂=，x₁·x₂=，
∴，
同理可得：，
S_{四边形PMQN}=|MN|·|PQ|=，
(当且仅当即k=±1时，取等号)，
又S_{四边形PMQN}=，
∴此时S_{四边形PMQN}＜2；
综上可知：(S_{四边形PMQN})_max=2，(S_{四边形PMQN})_min=。