Question

已知函数f（x）=lnx-

1

2

ax²+x，a∈R．
（1）当a=1时，求在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，f（x）=lnx-

1

2

x²+x，f′（x）=

1

x

-x+1，从而求切线方程；
（2）先求函数f（x）=lnx-

1

2

ax²+x的定义域为（0，+∞）；再求导f′（x）=

1

x

-ax+1=

-ax2+x+1

x

；从而由导数的正负讨论函数的单调性．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=lnx-

1

2

x²+x，
f′（x）=

1

x

-x+1，
故f′（1）=1-1+1=1，f（1）=0-

1

2

+1=

1

2

；
故在点（1，f（1））处的切线方程为
y=x-1+

1

2

；
即2x-2y-1=0．
（2）f（x）=lnx-

1

2

ax²+x的定义域为（0，+∞）；
f′（x）=

1

x

-ax+1=

-ax2+x+1

x

；
当a≤0时，-a≥0，f′（x）＞0；
故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
令

-ax2+x+1

x

=0得，
x=

1+ 1+4a

2a

；
故当0＜x＜

1+ 1+4a

2a

时，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，

1+ 1+4a

2a

）上是减函数．
当x∈（

1+ 1+4a

2a

，+∞）时，f′（x）＞0；
故f（x）在（

1+ 1+4a

2a

，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．