Question

过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l₁、l₂,若l₁交x轴于A点,l₂交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.

Answer 1

解法一:设点M的坐标为(x,y).

∵M为线段AB的中点,

∴A的坐标为(2x,0),B的坐标为(0,2y).

∵l₁⊥l₂,且l₁、l₂过点P(2,4),

∴PA⊥PB,k_PA·ｋ_PB=-1.

而,

,∴.

整理,得x+2y-5=0(x≠1)

∵当x=1时,A、B的坐标分别为(2,0)、(0,4),

∴线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程 x+2y-5=0.

综上所述,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.

解法二:设M的坐标为(x,y),则A、B两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y),连结PM.

∵l₁⊥l₂,∴2|PM|=|AB|.

而,

,

∴,

化简,得x+2y-5=0,为所求轨迹方程.

解法三:∵l₁⊥l₂,OA⊥OB,

∴O、A、P、B四点共圆,且该圆的圆心为M.

∴|MP|=|MO|.

∴点M的轨迹为线段OP的中垂线.

∵,OP的中点坐标为(1,2),

∴点M的轨迹方程是y-2=(x-1),

即x+2y-5=0.

启示:在平面直角坐标系中,遇到垂直问题,常利用斜率之积等于-1解题,但需注意斜率是否存在,即往往需要讨论,如解法一.求轨迹方程有时利用平面几何知识更为方便快捷