Question

△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC=

sinA+sinB

cosA+cosB

．
（1）若sin（B-A）=cosC，求A，C；
（2）判断sinA+sinB取最大值时，△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）先根据同角三角函数的基本关系将正切化为正余弦之比再相乘可得到3内角的正弦关系式，再由sin（B-A）=cosC可求出答案．
（2）由条件可得A+B=120°，sinA+sinB=sin（60°+A），再根据 60°＜60°+A＜180°，sin（60°+A）∈（0，1]，从而求出当sinA+sinB取最大值时△ABC是直角三角形．

解答：解：（1）因为tanC=

sinA+sinB

cosA+cosB

，所以左边切化弦对角相乘得到 sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB，
所以sin（C-A）=sin（B-C），所以C-A=B-C或C-A=π-（B-C）（不成立），即2C=A+B，C=60°，所以A+B=120°．
又因为sin（B-A）=cosC=

1

2

，所以B-A=30°或B-A=150°（舍），
所以A=45°，C=60°．
（2）由条件可得A+B=120°，sinA+sinB=sinA+sin（120°-A）=

1

2

sinA+

3

2

cosA=sin（60°+A）．
∵0＜A＜120°，
∴60°＜60°+A＜180°，
∴sin（60°+A）∈（0，1]，
故sinA+sinB∈（0，1]，
当sinA+sinB取最大值时，A=30°，B=90°，三角形是直角三角形．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系和正弦定理与三角形面积公式的应用．注意余弦定理、三角形面积公式的灵活运用，对于三角函数这一部分公式比较多，要强化记忆．