Question

在△ABC中，A：B：C=4：2：1，证明

1

a

+

1

b

=

1

c

．

Answer 1

分析：先根据A：B：C=4：2：1及三角形内角和为180°可求得A，B，C的值．要证

1

a

+

1

b

=

1

c

成立，根据正弦定理知即要证

1

sinA

+

1

sinB

=

1

sinC

成立，即要证明

1

sin 4π 7

+

1

sin 2π 7

=

1

sin π 7

成立．

解答：解：∵A：B：C=4：2：1∴A=

4π

7

，B=

2π

7

，C=

π

7

要证

1

a

+

1

b

=

1

c

成立，根据正弦定理知即要证

1

sinA

+

1

sinB

=

1

sinC

成立
∵

1

sin 4π 7

+

1

sin 2π 7

=

sin 4π 7 +sin 2π 7

sin 4π 7 sin 2π 7

=

2sin 3π 7 cos π 7

sin 4π 7 sin 2π 7

=

2cos π 7

sin 2π 7

=

2cos π 7

2sin π 7 cos π 7

=

1

sin π 7

∴

1

sinA

+

1

sinB

=

1

sinC

点评：本题主要考查了正弦定理的应用．本题的关键就是通过正弦定理把关于证明边的问题转化成证明角的问题．