Question

13．如图，三棱锥D-ABC中，AB=AC=CD=1，∠BAC=∠ACD=90°，＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$＞=60°，则BD的长为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$，可得${\overrightarrow{BD}}^{2}$=${\overrightarrow{BA}}^{2}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$+${\overrightarrow{CD}}^{2}$+2$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AC}$+2$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CD}$+2$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{CD}$，再利用数量积运算性质即可得出．

解答 解：∵∠BAC=∠ACD=90°，＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$＞=60°，
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CD}$=0，$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{CD}$=-cos60°=-$\frac{1}{2}$．
∵$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$，
∴${\overrightarrow{BD}}^{2}$=${\overrightarrow{BA}}^{2}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$+${\overrightarrow{CD}}^{2}$+2$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AC}$+2$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CD}$+2$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{CD}$
=3+0+0-1=2，
∴$|\overrightarrow{BD}|$=$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了空间线面位置关系、数量积运算性质、向量多边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．