题目内容
【题目】已知函数
，
.
（1）函数
在点
处的切线的斜率为2，求
的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若函数有两个不同极值点为
、
，证明：
.
【答案】（1）
；（2）当
时，在
单调递增；当
时，在
，
单调递增，在
单调递减；（3）证明见解析
【解析】
（1）求出导函数
，利用导数的几何意义
即可求解.
（2）令
，化简
，判别式
，讨论
的正负，从而确定
的正负，利用导数与函数单调性的关系即可求解.
（3）由（2）可知，，
，由
，
，求出
，利用换元法令
，将不等式转化为
，不妨设
，利用导数证出函数
在
单调递增，由
即可证出.
（1）
，
，∴
（2）令即，
当时，
，
，
在单调递增
当时，
，
，
，
，，
在，单调递增
在单调递减.
（3）由（2）可知，，，
，
令
则
，只需证明
，（只需证明
即可）
，
∴
，在单调递增
，得证.
【题目】随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注.一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果.如表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据.
成绩优秀 | 成绩不够优秀 | 总计 | |
选修生涯规划课 | 15 | 10 | 25 |
不选修生涯规划课 | 6 | 19 | 25 |
总计 | 21 | 29 | 50 |
（1）根据列联表运用独立性检验的思想方法能否有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”，并说明理由；
（2）现用分层抽样的方法在选修生涯规划课的成绩优秀和成绩不够优秀的学生中随机抽取5名学生作为代表，从5名学生代表中再任选2名学生继续调查，求这2名学生成绩至少有1人优秀的概率.
参考附表：
P（K2≥k） | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
参考公式
，其中n＝a+b+c+d.
【题目】生男生女都一样，女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.
（1）完成下列
列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；
生二孩 | 不生二孩 | 合计 | |
头胎为女孩 | 60 | ||
头胎为男孩 | |||
合计 | 200 |
（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数
的分布列及数学期望.
附：
| 0.15 | 0.05 | 0.01 | 0.001 |
| 2.072 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
（其中
）.
