Question

如图，在四棱柱中，底面ABCD和侧面都是矩形，E是CD的中点，，
.
（1）求证：；
（2）若，求三棱锥的体积.

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）.

试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，由已知得，，所以利用线面平行的判定得平面，再利用线面垂直的性质，得；第二问，利用和中的边长和角的关系，得到，由于，所以平面，所以利用线面垂直的性质得，利用线面垂直的判定得平面，由于平面平行平面，所以得到平面，所以是三棱锥的高，最后利用三棱锥的体积公式计算.
（1）证明：∵底面和侧面是矩形，
∴，
又∵
∴平面   3分
∵平面∴ ．                                              6分
（2）解法一：
， ，
∴△为等腰直角三角形，∴
连结，则，且                
由（1）平面，∴平面
∴
∴平面
∴平面                                                                9分
∴．                             12分
解法二：
∵,且
∴在△中，，，得                          9分
∴三棱锥的体积：
． 12分