Question

【题目】己知函数.

（1)试讨论f（x）的单调性；

(2)若函数有且只有三个不同的零点，分别记为x1，x2，x3，设x1＜x2＜x3，且的最大值是e2，求x1x3的最大值．

Answer 1

【答案】（1）当m≤0时，函数在区间(0，+∞)上单调递增；当m>0时， 函数在(0，)上单调递增，函数在(，+∞)上单调递减；（2）.

【解析】

（1）求出函数的导数，对m分类讨论，解得导函数大于0及小于0的范围，即可得到单调性．

（2）由条件可将问题转化函数y=m的图象与函数的图象有两个交点.分析可得0<x1<e，x3>e．令，则t∈．由，解得 构造，t∈，利用导函数转化求解即可．

（1）函数的定义域为(0，+∞).

由已知可得．

当m≤0时，>0，故在区间(0，+∞)上单调递增；

当m>0时，由>0，解得；由 0，解得．

所以函数在(0，)上单调递增，在(，+∞)上单调递减.

综上所述，当m≤0时，函数在区间(0，+∞)上单调递增；

当m>0时， 函数在(0，)上单调递增，

函数在(，+∞)上单调递减.

（2）∵ 函数g(x)=(x-e)(lnx-mx)有且只有三个不同的零点，

显然x=e是其零点，

∴ 函数存在两个零点，即有两个不等的实数根．

可转化为方程在区间(0，+∞)上有两个不等的实数根，

即函数y=m的图象与函数的图象有两个交点.

∵ ，

∴ 由>0，解得，故在上单调递增；

由<0，解得x>e，故在(e，+∞)上单调递减；

故函数y=m的图象与的图象的交点分别在(0，e)，(e，+∞)上，

即lnx-mx=0的两个根分别在区间(0，e)，(e，+∞)上，

∴ g(x)的三个不同的零点分别是x1，e，x3，且0<x1<e，x3>e．

令，则t∈．

由，解得

故，t∈．

令，则．

令，则．

所以在区间上单调递增，即>．

所以，即在区间上单调递增，

即≤=，

所以，即x1x3≤，

所以x1x3的最大值为．