Question

【题目】如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.

（1）求证：PB∥平面AEC；

（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；

（3）当PA=AB=2，∠ABC=时，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）由中位线定理以及线面平行的判定定理证明即可；

（2）利用线面垂直的性质定理以及面面垂直的判定定理证明即可；

（3）利用三角形面积公式得出的面积，再由棱锥的体积公式求解即可.

（1）取AC、BD中点为O，连接EO.

证明：∵底面ABCD为菱形且O为AC、BD的交点

∴O为BD中点.∵E为PD中点，∴.

∵平面ABC，平面AEC，∴平面AEC.

（2）∵底面ABCD为菱形，∴.

∵平面ABCD，平面ABCD，∴.

∵，平面，∴平面PAC.

∵平面PBD，∴平面平面PBD.

（3）∵，∴

∵，∴.

∴.

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