Question

【题目】已知数列的前项和为，，，.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）设数列的前项和为，，点在直线上，若不等式对于恒成立，求实数的最大值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据，利用数列通项与前n项和的关系，由，得，两式相减变形为，再利用等比数列的定义证明.

（2）由（1）得，根据点在直线上，得到，由等差数列的定义得到是等差数列，利用通项公式可得，进而求得，令，用错位相减法化简得到，将不等式，转化为恒成立求解.

（1）由，

得，

两式相减得，

变形为

∵，

∴，，

，

∴是以1为首项，公比为2的等比数列.

（2）由（1）得，

∵点在直线上，∴，

故是以为首项，为公差的等差数列.

则，

∴.

当时，，

∵满足该式，

∴.

∴不等式，

即为，

令，则，

两式相减得

，

∴，

由恒成立，即恒成立，

又，

故当时，单调递减；当时，；

当时，单调递增；当时，；

则的最小值为，

所以实数m的最大值是.