Question

【题目】已知数列的前项和为，且，其中.

（1）求及数列的通项公式；

（2）若，为整数，且对任意的，恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）5

【解析】

（1）将代入递推公式，结合的值，即可求得的值；将所给条件式子递推后，作差即可求得数列的通项公式；

（2）将代入数列的表达式即可求得的值，代入不等式可得的范围；将数列的通项公式代入数列，结合放缩法即可求得数列的表达式，结合等比数列求和公式即可求得数列的前项和表达式，进而由不等式求得的最小值.

（1）当时，代入可得

，而，

所以解得；

，

当时，，两式相减可得

，

又满足上式，

，即为常数数列，

而

（2）当时，，

代入不等式可得，

.

当时，

.

.

故当时，对任意的，都有.

所以整数的最小值为5.