Question

【题目】如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC＝2AD，四边形ABEF是矩形，将矩形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1⊥平面ABCD，M为AF1的中点，如图2.

(1)求证：BE1⊥DC；

(2)求证：DM∥平面BCE1；

(3)判断直线CD与ME1的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)见解析.（3）相交，理由详见解析

【解析】试题分析：（1）由面面垂直性质定理得BE1⊥平面ABCD，即得BE1⊥DC；（2）根据AM∥BE1，AD∥BC，可根据线面平行判定定理得线面平行，再根据面面平行判定定理得面面平行，即得结论（3）取BC的中点P，CE1的中点Q，易得MQ∥CD,因此相交

试题解析：(1)证明　因为四边形ABE1F1为矩形，

所以BE1⊥AB.

因为平面ABCD⊥平面ABE1F1，

且平面ABCD∩平面ABE1F1＝AB，

BE1平面ABE1F1，

所以BE1⊥平面ABCD.

因为DC平面ABCD，

所以BE1⊥DC.

(2)证明　因为四边形ABE1F1为矩形，

所以AM∥BE1.

因为AD∥BC，AD∩AM＝A，BC∩BE1＝B，

AD平面ADM，AM平面ADM，

BC平面BCE1，BE1平面BCE1，

所以平面ADM∥平面BCE1.

因为DM平面ADM，

所以DM∥平面BCE1.

(3)解　直线CD与ME1相交，理由如下：

取BC的中点P，CE1的中点Q，连接AP，PQ，QM，

所以PQ∥BE1，且PQ＝BE1.

在矩形ABE1F1中，M为AF1的中点，

所以AM∥BE1，且AM＝BE1，

所以PQ∥AM，且PQ＝AM.

所以四边形APQM为平行四边形，

所以MQ∥AP，MQ＝AP.

因为四边形ABCD为梯形，P为BC的中点，BC＝2AD，

所以AD∥PC，AD＝PC，

所以四边形ADCP为平行四边形．

所以CD∥AP且CD＝AP.

所以CD∥MQ且CD＝MQ.

所以四边形CDMQ是平行四边形．

所以DM∥CQ，即DM∥CE1.

因为DM≠CE1，

所以四边形DME1C是以DM，CE1为底边的梯形，

所以直线CD与ME1相交．

点睛:立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.