题目内容

一个函数f（x），如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．
（Ⅰ）判断f1(x)=
x
，f2（x）=x，f3（x）=x2中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；
（Ⅱ）如果g（x）是定义在R上的周期函数，且值域为（0，+∞），证明g（x）不是“保三角形函数”；
（Ⅲ）若函数F（x）=sinx，x∈（0，A）是“保三角形函数”，求A的最大值．
（可以利用公式sinx+siny=2sin
x+y
2
cos
x-y
2
）
分析：（1）任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，不妨假设a≤c，b≤c，我们判断f（a），f（b），f（c）是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边（2）要想一个函数不是“保三角形函数”关键是根据题中条件g（x）是定义在R上的周期函数，且值域为（0，+∞），举出反例．（3）则是要利用“保三角形函数”的概念，求A的最值，观察到Sinx的最大值为1，且Sin
5π
6
=
1
2
，故可猜想
5π
6
可能为分类讨论的分类标准，所以解答过程可通过对x与
5π
6
的关系进行分类讨论，最后给出结论．
解答：解：（I）f1（x），f2（x）是“保三角形函数”，f3（x）不是“保三角形函数”．
任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，不妨假设a≤c，b≤c，
由于
a
+
b
＞
a+b
＞
c
＞0，所以f1（x），f2（x）是“保三角形函数”．
对于f3（x），3，3，5可作为一个三角形的三边长，但32+32＜52，
所以不存在三角形以32，32，52为三边长，故f3（x）不是“保三角形函数”．
（II）设T＞0为g（x）的一个周期，由于其值域为（0，+∞），
所以，存在n＞m＞0，使得g（m）=1，g（n）=2，
取正整数λ＞
n-m
T
，可知λT+m，λT+m，n这三个数可作为一个三角形的三边长，
但g（λT+m）=1，g（λT+m）=1，g（n）=2不能作为任何一个三角形的三边长．
故g（x）不是“保三角形函数”．
（III）A的最大值为
5π
6

①若A＞
5π
6
，
取
π
2
，
5π
6
，
5π
6
∈(0，A)，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，
但sin
π
2
=1，sin
5π
6
=
1
2
，sin
5π
6
=
1
2
不能作为任何一个三角形的三边长，
故F（x）不是“保三角形函数”．
②当A=
5π
6
时，对任意三角形的三边a，b，c，若a，b，c∈(0，
5π
6
)，则分类讨论如下：
（1）a+b+c≥2π，
此时a≥2π-b-c＞2π-
5π
6
-
5π
6
=
π
3
，同理，b，c＞
π
3
，
∴a，b，c∈(
π
3
，
5π
6
)，故sina，sinb，sinc∈(
1
2
，1]，sina+sinb＞
1
2
+
1
2
=1≥sinc．
同理可证其余两式．
∴sina，sinb，sinc可作为某个三角形的三边长．
（2）a+b+c＜2π
此时，
a+b
2
+
c
2
＜π，可得如下两种情况：
a+b
2
≤
π
2
时，由于a+b＞c，所以，0＜
c
2
＜
a+b
2
≤
π
2
．
由sinx在(0，
π
2
]上的单调性可得0＜sin
c
2
＜sin
a+b
2
≤1；
a+b
2
＞
π
2
时，0＜
c
2
＜π-
a+b
2
＜
π
2
，
同样，由sinx在(0，
π
2
)上的单调性可得0＜sin
c
2
＜sin
a+b
2
＜1；
总之，0＜sin
c
2
＜sin
a+b
2
≤1．
又由|a-b|＜c＜
5π
6
及余弦函数在（0，π）上单调递减，
得cos
a-b
2
=cos
|a-b|
2
＞cos
c
2
＞cos
5π
12
＞0，
∴sina+sinb=2sin
a+b
2
cos
a-b
2
＞2sin
c
2
cos
c
2
=sinc．
同理可证其余两式，所以sina，sinb，sinc也是某个三角形的三边长．
故A=
5π
6
时，F（x）是“保三角形函数”．
综上，A的最大值为
5π
6
．
点评：演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．要想判断f（x）为“保三角形函数”，要经过严密的论证说明f（x）满足“保三角形函数”的概念，但要判断f（x）不为“保三角形函数”，仅须要举出一个反例即可．
练习册系列答案
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写出一个同时满足下列条件的函数f（x）：如
f（x）=2cos（
1
2
x+π）+4
f（x）=2cos（
1
2
x+π）+4

①f（x）＞0（x∈R）      ②f（x）为周期函数且最小正周期为T=4π    ③f（x）是R上的偶函数   
④f（x）是在（-4π，-2π）上的增函数  ⑤f（x）的最大值与最小值差不小于4．
（2009•湖北模拟）设函数f（x）=x2+ax+b•2x（a≠0），若{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠φ，请你写出满足上述条件的一个函数f（x）的例子，如函数f（x）=
f（x）=x2+x（只要0＜a＜4且b=0即可）
f（x）=x2+x（只要0＜a＜4且b=0即可）
．

设函数f（x）=x2+ax+b•2x（a≠0），若{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠φ，请你写出满足上述条件的一个函数f（x）的例子，如函数f（x）=________．
设函数f（x）=x2+ax+b•2x（a≠0），若{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠φ，请你写出满足上述条件的一个函数f（x）的例子，如函数f（x）=    ．
设函数f（x）=x2+ax+b•2x（a≠0），若{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠φ，请你写出满足上述条件的一个函数f（x）的例子，如函数f（x）=______．

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