Question

（2009•湖北模拟）设函数f（x）=x²+ax+b•2^x（a≠0），若{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠φ，请你写出满足上述条件的一个函数f（x）的例子，如函数f（x）=

f（x）=x²+x（只要0＜a＜4且b=0即可）

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Answer 1

分析：分析函数的结构特点，先由{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠∅，得到x²+ax+b•2^x=（x²+ax+b•2^x）²²+a（x²+ax+b•2^x）+b•2(x2+ax+b•2x)必有实数解，当x=0时，b=b²+ab+b•2^b，b=0满足条件．然后进行化简，得到x²+ax=（x²+ax）²+a（x²+ax），当a=1时，（x²+x）²=0，x=0．由此得到满足上述条件的一个函数f（x）的例子f（x）=x²+x．

解答：解：∵函数f（x）=x²+ax+b•2^x（a≠0），
{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠∅，
∴x²+ax+b•2^x=（x²+ax+b•2^x）²²+a（x²+ax+b•2^x）+b•2(x2+ax+b•2x)必有实数解，
当x=0时，b=b²+ab+b•2^b，
b=0满足条件．
把b=0代入x²+ax+b•2^x=（x²+ax+b•2^x）²²+a（x²+ax+b•2^x）+b•2(x2+ax+b•2x)，
得x²+ax=（x²+ax）²+a（x²+ax），
当a=1时，（x²+x）²=0，x=0．
综上所述，当a=1，b=0，f（x）=x²+x时，{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠φ．
故答案为：f（x）=x²+x．
（答案不唯一，（只要0＜a＜4且b=0即可）．

点评：本题考查函数的解析式的求法和常规解法，解题时要认真审题，仔细解答，注意物特殊值的灵活运用．