Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，两个顶点分别为A₁（-a，0）、A₂（a，0），若在双曲线上存在一点P，使得在△PA₁A₂中，∠PA₁A₂=30°，∠PA₂A₁=120°，则此双曲线的离心率为（　　）

• A．

  3

• B．

  3 +1

  2

• C．

  2

• D．

  3

  +1

Answer 1

分析：设P（m，n），根据直线的斜率公式算出kA1P•kA2P=

n2

m2-a2

=1，结合点P在双曲线上化简可得a=b，由此算出c=

2

a，即可得到该双曲线的离心率．

解答：解：由题意，得A₁（-a，0）、A₂（a，0），
设P（m，n），则
kA1P=

n

m+a

=tan30°=

3

3

，kA2P=

n

m-a

=-tan120°=

3

∴kA1P•kA2P=

n2

m2-a2

=1
又∵P（m，n）是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上的点，
∴

m2

a2

-

n2

b2

=1，解得n2=b2(

m2

a2

-1)=

b2

a2

(m2-a2)
因此

n2

m2-a2

=

b2 a2 (m2-a2)

m2-a2

=1，化简得a=b
∴c=

a2+b2

=

2

a，双曲线的离心率e=

c

a

=

2

故选：C

点评：本题给出双曲线上一点P对两个顶点构成顶角为120度的等腰三角形，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直线的斜率公式等知识，属于中档题．