Question

如图用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为am²．为使所用材料最省，底宽应为

8a π+4

米．

Answer 1

分析：窗子是由矩形与一个半圆组成，故其面积为：一个矩形的面积加上一个半圆的面积，分别表示表示成关于底宽的关系式，进而可得周长关于底边长的函数关系式，利用基本不等式可求最值，得出所用材料最省时的底宽．

解答：解：如图，设底宽BC=2x米，则半圆弧DA长为πx米
再设AB=y米，可得窗子的面积为：2xy+

π

2

x2=a
∴y=

a- π 2 x2

2x

∴周长为：f（x）=2y+2x+πx=

a- π 2 x2

x

+2x+πx=

a

x

+(2+

π

2

) x
由y＞0得

a- π 2 x2

2x

＞0，
∵x＞0，∴0＜x＜

2a π

∴自变量x的取值范围是x∈(0，

2a π

)
由基本不等式得：

a

x

+(2+

π

2

) x≥2

a x ×(2+ π 2 )

x=

a(8+ 2π)

当且仅当

a

x

=(2+

π

2

) x，即x=

2a π+4

时，周长取得最小，即所用材料最省．
此时底宽应为

8a π+4

米
故答案为：

8a π+4

．

点评：本题考查了函数模型的选择与应用和函数最值问题，属于中档题．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，再应用基本不等式加以解决．