Question

如图用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为S，当底宽为

8s π+4

 m时，所用材料最省；

Answer 1

分析：根据形状不难发现它由矩形的一个半圆组成，故其面积为：一个矩形的面积+一个半圆的面积，分别表示表示成关于底宽的关系式，再利用二次函数求最值和方法得出所用材料最省时的底宽即可．

解答：解：如图，设底宽BC=2x米，半圆弧DA长为πx米
再设AB=y米，可得窗子的面积为：2xy+

π

2

x2=S
∴y=

S- π 2 x2

2x

可得周长为：f（x）=2y+2x+πx=

S- π 2 x2

x

+2x+πx=

S

x

+(2+

π

2

) x
由y＞0得

S- π 2 x2

2x

＞0，自变量的取值范围是x∈(0，

2S π

)
由基本不等式得：

S

x

+(2+

π

2

) x≥2

S x (2+ π 2 )

x=

S(8+ 2π)

此时

S

x

=(2+

π

2

) x即x=

2s π+4

，而底宽BC=2x=

8s π+4

米
故答案为

8s π+4

．

点评：此题主要考查了函数模型的选择与应用和函数最值问题，属于中档题．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，再应用基本不等式加以解决．