Question

设函数f（x）=•定义在R上，其中．
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移单位后，再将得到的图象上各点的横坐标延长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，若g（x）＜m+2在x∈[O，2π]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵，
∴y=f（x）=2cos²x+sin2x=cos2x+sin2x+1=2sin（2x+）
由-+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z），可得-+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），
∴函数y=f（x）的单调递增区间为[-+kπ，+kπ]（k∈Z）；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移单位后，再将得到的图象上各点的横坐标延长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=2sin（x-）
∵x∈[O，2π]，∴x-∈[-，]
∴sin（x-）∈[-，]
∴2sin（x-）∈[-1，]
∵f（x）＜m+2在x∈[O，2π]上恒成立，
∴-1＜m+2，∴m＞-3．
分析：（1）先利用向量的数量积公式，再利用辅助角公式化简函数，利用正弦函数的单调增区间，即可求得结论；
（2）先求函数y=g（x），再求函数的最小值，即可求得实数m的取值范围．
点评：本题考查向量的数量积运算，考查辅助角公式的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，正确确定函数解析式是关键．