Question

设函数f（x）=ax-

b

x

，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0，建立方程，可求得a=1，b=3，从而可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出切线方程，从而可计算切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积．

解答：解：（Ⅰ）求导函数可得：f′（x）=a+

b

x2

∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．
∴f（2）=

1

2

∴a+

b

4

=

7

4

，2a-

b

2

=

1

2

∴a=1，b=3
∴f（x）的解析式为f（x）=x-

3

x

；
（Ⅱ）设（x₀，x₀-

3

x0

）为曲线f（x）上任一点，则切线的斜率为1+

3

x02

，
∴切线方程为y-（x₀-

3

x0

）=（1+

3

x02

）（x-x₀），
令x=0，可得y=-

6

x0

由切线方程与直线y=x联立，求得交点横坐标为x=2x₀
∴曲线f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值

1

2

×|2x₀|×|-

6

x0

|=6

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．