Question

设函数f（x）=ax+

1

x+b

（a，b∈Z），曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为y=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）上任一点的切线与直线x=1和直线y=x三角形的面积为定值，并求出此定值．

Answer 1

分析：（1）欲求在点（2，f（2））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）先在曲线上任取一点（x₀，x₀+

1

x0-1

）．利用导数求出过此点的切线方程为，令x=1得切线与直线x=1交点．令y=x得切线与直线y=x交点．从而利用面积公式求得所围三角形的面积为定值．

解答：解：（1）f′（x）=a-

1

(x+b)2

，
于是

2a+  1 2+b =3 a- 1 (a+b)2 =0

解得

a=1 b=-1

或

a= 9 4 b=- 8 3

因a，b∈Z，故f（x）=x+

1

x-1

．

（2）证明：在曲线上任取一点（x₀，x₀+

1

x0-1

）．
由f′（x₀）=1-

1

(x0-1)2

知，过此点的切线方程为y-

x 2 0 -x0+1

x0-1

=[1-

1

(x0-1)2

]（x-x₀）．
令x=1得y=

x0+1

x0-1

，切线与直线x=1交点为（1，

x0+1

x0-1

）．
令y=x得y=2x₀-1，切线与直线y=x交点为（2x₀-1，2x₀-1）．
直线x=1与直线y=x的交点为（1，1）．
从而所围三角形的面积为

1

2

|

x0+1

x0-1

-1|•|2x₀-1-1|=

1

2

|

2

x0-1

||2x₀-2|=2．
所以，所围三角形的面积为定值2．

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、函数解析式的求解及待定系数法等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．