题目内容

已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=
5
3

（I）求椭圆C1的方程；   
（Ⅱ）已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C1上，顶点B、D在直线7x-7y+1=0上，求直线AC的方程．
（I）设点M为（x1，y1），
∵F2是抛物线y2=4x的焦点，
∴F2（1，0）；
又|MF2|=
5
3
，由抛物线定义知
x1+1=
5
3
，即x1=
2
3
；
由M是C1与C2的交点，
∴y12=4x1，即y1=±
2
6
3
，这里取y1=
2
6
3
；
又点M（
2
3
，
2
6
3
）在C1上，
∴
4
9a2
+
8
3b2
=1，且b2=a2-1，
∴9a4-37a2+4=0，∴a2=4或a2=
1
9
＜c2（舍去），
∴a2=4，b2=3；
∴椭圆C1的方程为：
x2
4
+
y2
3
=1
（II）∵直线BD的方程为：7x-7y+1=0，在菱形ABCD中，AC⊥BD，
不妨设直线AC的方程为x+y=m，
则
x+y=m
x2
4
+
y2
3
=1

∴消去y，得7x2-8mx+4m2-12=0；
∵点A、C在椭圆C1上，
∴（-8m）2-4×7×（4m2-12）＞0，即m2＜7，∴-
7
＜m＜
7
；
设A（x1，y1），C（x2，y2），
则x1+x2=
8m
7
，y1+y2=（-x1+m）+（-x2+m）=-（x1+x2）+2m=-
8m
7
+2m=
6m
7
，
∴AC的中点坐标为(
4m
7
，
3m
7
)，
由菱形ABCD知，点(
4m
7
，
3m
7
)也在直线BD：7x-7y+1=0上，
即7×
4m
7
-7×
3m
7
+1=0，∴m=-1，由m=-1∈(-
7
，
7
)知：
直线AC的方程为：x+y=-1，即x+y+1=0．
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已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=
5
3
．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆C1上，对角线BD所在的直线的斜率为1．
①当直线BD过点（0，
1
7
）时，求直线AC的方程；
②当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．
精英家教网已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一条准线方程是x=
25
4
，其左、右顶点分别是A、B；双曲线C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1的一条渐近线方程为3x-5y=0．
（1）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；
（2）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连接AP交椭圆C1于点M，连接PB并延长交椭圆C1于点N，若
AM
=
MP
．求
MN
•
AB
的值．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
2
2
，直线l：y=x+2
2
与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程．
（Ⅱ）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
（Ⅲ）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2-
y2
4
=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则b2=
0.5
0.5
．
（2013•汕头一模）已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，离心率e=
1
2

（1）设抛物线C2：y2=4x的准线与x轴交于F1，求椭圆的方程；
（2）设已知双曲线C3以椭圆C1的焦点为顶点，顶点为焦点，b是双曲线C3在第一象限上任意-点，问是否存在常数λ（λ＞0），使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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