题目内容
已知椭圆C1：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆C1的方程．
（Ⅱ）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
（Ⅲ）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值．
分析：（Ⅰ）由题设条件知a2=2b2，再由直线l：x-y+2=0与圆x2+y2=b2相切，知
=b，由此可求出椭圆C1的方程．
（Ⅱ）由MP=MF2，知动点M到定直线l1：x=-2的距离等于它到定点F2（2，0）的距离，由此可求出点M的轨迹C2的方程．
（Ⅲ）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，A（x1，y1），C（x2，y2），则直线AC的方程为y=k（x-2），联立
+
=1及y=k（x-2）得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-8=0．然后利用根与系数的关系结合题设条件进行求解．
2
| ||
| 2 |
（Ⅱ）由MP=MF2，知动点M到定直线l1：x=-2的距离等于它到定点F2（2，0）的距离，由此可求出点M的轨迹C2的方程．
（Ⅲ）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，A（x1，y1），C（x2，y2），则直线AC的方程为y=k（x-2），联立
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
解答：解：（Ⅰ）∵e=
，∴e2=
=
=
，∴a2=2b2
∵直线l：x-y+2=0与圆x2+y2=b2相切
∴
=b，∴b=2，b2=4，∴a2=8，
∴椭圆C1的方程是
+
=1（3分）
（Ⅱ）∵MP=MF2，
∴动点M到定直线l1：x=-2的距离等于它到定点F2（2，0）的距离，
∴动点M的轨迹C是以l1为准线，F2为焦点的抛物线
∴点M的轨迹C2的方程为y2=8x（6分）
（Ⅲ）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，
A（x1，y1），C（x2，y2），则直线AC的方程为y=k（x-2）
联立
+
=1及y=k（x-2）得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-8=0
所以x1+x2=
，x1x2=
|AC|=
=
=
．（8分）
由于直线BD的斜率为-
，用-
代换上式中的k可得|BD|=
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积为S=
|AC|•|BD|=
..（10分）
由（1+2k2）（k2+2）≤[
]2=[
]2
所以S≥
，当1+2k2=k2+2时，即k=±1时取等号．（11分）
易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积S=8
综上可得，四边形ABCD面积的最小值为
（12分）
| ||
| 2 |
| c2 |
| a2 |
| a2-b2 |
| a2 |
| 1 |
| 2 |
∵直线l：x-y+2=0与圆x2+y2=b2相切
∴
2
| ||
| 2 |
∴椭圆C1的方程是
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
（Ⅱ）∵MP=MF2，
∴动点M到定直线l1：x=-2的距离等于它到定点F2（2，0）的距离，
∴动点M的轨迹C是以l1为准线，F2为焦点的抛物线
∴点M的轨迹C2的方程为y2=8x（6分）
（Ⅲ）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，
A（x1，y1），C（x2，y2），则直线AC的方程为y=k（x-2）
联立
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
所以x1+x2=
| 8k2 |
| 1+2k2 |
| 8k2-8 |
| 1+2k2 |
|AC|=
| (1+k2)(x1-x2)2 |
| (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] |
| ||
| 1+2k2 |
由于直线BD的斜率为-
| 1 |
| k |
| 1 |
| k |
| ||
| k2+2 |
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积为S=
| 1 |
| 2 |
| 16(1+k2)2 |
| (k2+2)(1+2k2) |
由（1+2k2）（k2+2）≤[
| (1+2k2)+(k2+2) |
| 2 |
| 3(k2+1) |
| 2 |
所以S≥
| 64 |
| 9 |
易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积S=8
综上可得，四边形ABCD面积的最小值为
| 64 |
| 9 |
点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合应用，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．
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