题目内容
已知椭圆C1:
+
=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-
=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点,若C1恰好将线段AB三等分,则b2=
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
y2 |
4 |
0.5
0.5
.分析:由双曲线方程确定一条渐近线为y=2x,可得AB为圆直径且AB=2a,因椭圆与双曲线有公共焦点,得a2-b2=5.设C1与y=2x在第一象限的交点为A(m,2m),代入C1解出m2=
.再由对称性知直线y=2x被C1截得的弦长,根据C1恰好将线段AB三等分解出m=
,联解可得a2,b2的值,得到答案.
a2b2 |
b2+4a2 |
a | ||
3
|
解答:解:由题意,C2的焦点为(±
,0),一条渐近线方程为y=2x,
根据对称性可知以C1的长轴为直径的圆交y=2x于A、B两点,满足AB为圆的直径且AB=2a
∵椭圆C1与双曲线C2有公共的焦点,
∴C1的半焦距c=
,可得a2-b2=5,…①
设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为A(m,2m),
代入C1的方程,解得m2=
,…②
由对称性可得直线y=2x被C1截得的弦长AB=2
m,
结合题意得2
m=
,所以m=
,…③
由②③联解,得a2=11b2…④
再联解①④,可得得a2=5.5,b2=0.5
故答案为:0.5
5 |
根据对称性可知以C1的长轴为直径的圆交y=2x于A、B两点,满足AB为圆的直径且AB=2a
∵椭圆C1与双曲线C2有公共的焦点,
∴C1的半焦距c=
5 |
设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为A(m,2m),
代入C1的方程,解得m2=
a2b2 |
b2+4a2 |
由对称性可得直线y=2x被C1截得的弦长AB=2
5 |
结合题意得2
5 |
2a |
3 |
a | ||
3
|
由②③联解,得a2=11b2…④
再联解①④,可得得a2=5.5,b2=0.5
故答案为:0.5
点评:本题给出双曲线与椭圆共焦点,在双曲线的渐近线与椭圆长轴为直径的圆相交所得的弦AB被椭圆三等分时,求椭圆的b2之值.着重考查了椭圆、双曲线的标准方程与简单几何性质与直线与圆等知识,属于中档题.
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