题目内容
已知椭圆C1：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 5 |
| 3 |
（1）求椭圆C1的方程；
（2）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆C1上，对角线BD所在的直线的斜率为1．
①当直线BD过点（0，
| 1 |
| 7 |
②当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．
分析：（1）根据右焦点F2也是拋物线C2：y2=4x的焦点，且|MF2|=
，可求出F2，根据抛物线的定义可求得点M的横坐标，并代入抛物线方程，可求其纵坐标；把点M代入椭圆方程，以及焦点坐标，解方程即可求得椭圆C1的方程；
（2）①直线BD所在的直线的斜率为1，且过点（0，
），可求出BD的方程，∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，设直线ACy=-x+m，联立消去y，得到关于x的一元二次方程，△＞0，利用韦达定理即可求得AC的中点，在直线BD上，可求直线AC的方程；②ABCD为菱形，且∠ABC=60°，∴|AB|=|BC|=|CA|，菱形ABCD面积的最大值，转化为求弦AC的最大值，利用韦达定理求出AC的长度，并求其最大值即可．
| 5 |
| 3 |
（2）①直线BD所在的直线的斜率为1，且过点（0，
| 1 |
| 7 |
解答：解：（1）设M（x1，y1）∵F2(1，0)|MF2| =
．
由抛物线定义，x1+1=
，∴x1=
∵
=4x1，∴y1=
．
∴M(
，
)∵M在c1上，
+
=1，又b2=a2-1
∴9a4-37a2+4=0∴a2=4或a2=
＜c2舍去．
∴a2=4，b2=3
∴椭圆c1的方程为
+
=1．
（2）①直线BD的方程为y=x+
∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，设直线AC为y=-x+m，
由
，得7x2-8mx+4m2-12=0
∵A，C、在椭圆C1上，∴△＞0解得(-
，＜m＜
)，
设A（x1，y1），c（x2，y2），
则x1+x2=
，x1x2=
，
y1 =-x1+m2y2=-x2+m2∴y1+y2=
，AC的中点坐标为(
，
)．
由ABCD为菱形可知，点(
，
)在直线y=x+
上，
∴
=
+
，m=-1∈(-
，
)．
∴直线AC的方程为y=-x-1
即x+y+1=0．
②∵ABCD为菱形，且∠ABC=60°，
∴|AB|=|BC|=|CA|，
∴菱形ABCD的面积
S=
|AC|2=
[(x1-x2)2+(y1-y2)2]
•2[(x1+x2)2-4x1x2]
(
-4
)
=
(7-m2 )，(-
，＜m＜
)．
∴当m=0时，菱形ABCD的面积取得最大值
．
| 5 |
| 3 |
由抛物线定义，x1+1=
| 5 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| y | 2 1 |
2
| ||
| 3 |
∴M(
| 2 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| 4 |
| 9a2 |
| 8 |
| 3b2 |
∴9a4-37a2+4=0∴a2=4或a2=
| 1 |
| 9 |
∴a2=4，b2=3
∴椭圆c1的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）①直线BD的方程为y=x+
| 1 |
| 7 |
∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，设直线AC为y=-x+m，
由
|
∵A，C、在椭圆C1上，∴△＞0解得(-
| 7? |
| 7? |
设A（x1，y1），c（x2，y2），
则x1+x2=
| 8m |
| 7 |
| 4m2-12 |
| 7 |
y1 =-x1+m2y2=-x2+m2∴y1+y2=
| 6m |
| 7 |
| 4m |
| 7 |
| 3m |
| 7 |
由ABCD为菱形可知，点(
| 4m |
| 7 |
| 3m |
| 7 |
| 1 |
| 7 |
∴
| 3m |
| 7 |
| 4m |
| 7 |
| 1 |
| 7 |
| 7 |
| 7 |
∴直线AC的方程为y=-x-1
即x+y+1=0．
②∵ABCD为菱形，且∠ABC=60°，
∴|AB|=|BC|=|CA|，
∴菱形ABCD的面积
S=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 64m2 |
| 49 |
| 4m2-12 |
| 7 |
=
| |||
| 49 |
| 7 |
| 7 |
∴当m=0时，菱形ABCD的面积取得最大值
| |||
| 7 |
点评：此题是个难题．考查抛物线的定义和简单的几何性质，待定系数法求椭圆的标准方程，以及直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题，综合性强，特别是问题（2）的设问形式，增加了题目的难度，注意直线与圆锥曲线相交，△＞0．体现了数形结合和转化的思想方法．
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