Question

如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点 E，AD交BC于点F．
（Ⅰ）求证：BC∥DE；
（Ⅱ）若D，E，C，F四点共圆，且

AC

=

BC

，求∠BAC．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：推理和证明

分析：（Ⅰ）通过证明∠EDC=∠DCB，然后推出BC∥DE．
（Ⅱ）解：证明∠CFA=∠CED，然后说明∠CFA=∠ACF．设∠DAC=∠DAB=x，在等腰△ACF中，π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x，求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）证明：因为∠EDC=∠DAC，∠DAC=∠DAB，∠DAB=∠DCB，
所以∠EDC=∠DCB，
所以BC∥DE．…（4分）
（Ⅱ）解：因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA=∠CED
由（Ⅰ）知∠ACF=∠CED，所以∠CFA=∠ACF．
设∠DAC=∠DAB=x，
因为

AC

=

BC

，所以∠CBA=∠BAC=2x，
所以∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x，
在等腰△ACF中，π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x，则x=

π

7

，
所以∠BAC=2x=

2π

7

．…（10分）

点评：本题考查内错角相等证明直线的平行，四点共圆条件的应用，考查推理与证明的基本方法．