Question

如图，F₁、F₂是椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点，点M在x轴上，且，过点F₂的直线与椭圆交于A、B两点，且AM⊥x轴，＝0.

(1) 求椭圆的离心率；

(2) 若△ABF₁的周长为4，求椭圆的方程．

Answer 1

解：(1) 设F₁(－c，0)，F₂(c，0)，A(x₀，y₀)，椭圆的离心率为e，则M.

∵＝e，∴ |AF₁|＝a＋ex₀.同理，|AF₂|＝a－ex₀.

∵＝0，∴ AF₁⊥AF₂，

∴ |AF₁|²＋|AF₂|²＝|F₁F₂|²，

∴ (a＋ex₀)²＋(a－ex₀)²＝4c^2, 即a²＋e²x＝2c².

∵ x₀＝c，∴ a²＋e²·c²＝2c^2,

∴ 1＋e⁴＝2e²，即3e⁴－8e²＋4＝0，

∴ e²＝或2(舍)，∴ 椭圆的离心率e＝.

 (2) ∵ △ABF₂的周长为4，∴ 4a＝4，

∴ a＝.又＝，∴ c＝2, ∴ b²＝2.

∴ 椭圆方程为＝1.