Question

【题目】如图，三棱柱中，侧面为菱形，在侧面上的投影恰为的中点，为的中点．

（Ⅰ）证明：∥平面；

（Ⅱ）若，在线段上是否存在点（不与，重合）使得直线与平面成角的正弦值为若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）存在，

【解析】

(I)根据已知条件先连接，，因为，分别为，中点，所以根据中位线的性质即可得到,再利用线面平行的判定定理即可.

(II) 因为平面，为菱形，如图建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，并设，求出平面的法向量，结合已知条件即可求出的值.

解：（Ⅰ）证明：连接，，

因为，分别为，中点，所以,

因为平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）因为平面，为菱形，如图建立空间直角坐标系，

设，因为，，

所以，所以，

所以，，，，，

所以，

设，

所以，

所以,

设平面的法向量，

因为，，

所以，

所以的一组解为，

因为直线与平面成角的正弦值为，

所以，

解得，（舍），

所以．