Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围..

Answer 1

【答案】（1）当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增；（2）

【解析】

（1）函数求导对参数进行讨论得到函数单调性

（2）对进行符号讨论，研究单调性解决恒成立问题；也可分离参数

不等式恒成立问题转化为函数最值问题，构造函数，利用导数求最值可解.

（1）由题意，函数的定义域为.

则.

（i）当，那时，

令，得，得，得，得.

又因为，所以；令，得；

所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；

（ii）当，即时，，

又由，得，所以.即对任意恒成立，所以函数在区间上单调递增；

综上，当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；

当时，函数在区间上单调递增.

（2）方法一，由（1）可知，

①当时，函数在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递增.

所以函数在区间上的最小值为，

最大值为；

②当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；

（i）当，即时，函数在区间上单调递减，所以函数在区间上的最小值为，最大值；

（ii）当，即时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；所以函数在区间上最大值为；

而最小值需要比较与的大小；

因为，

所以当，即，也即时，，此时函数在区间上的最小值为；

当，即时，，

此时函数在区间上的最小值为；

当，即时，，此时函数在区间上的最小值为；

（iii）当，即时，函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的最小值为，最大值为；

若不等式对任意恒成立，则且.

综上所述，当时，函数的区间上的最小值为，

最大值为；此时，且，解得；

当时，函数在区间上的最小值为，

此时，不符合题意，舍去；

当时，函数在区间上的最小值为，

最大值为；此时，且，

解得.但此时，与前提条件不符合，故无解，舍去；

当时，函数在区间上的最小值为，此时最小值，而，不符合题意，舍去.

综上所述，实数的取值范围是.

方法二 已知.

由，∴，

令，则，

显然当时，，在上单调递增，

∴.

由，∴，

令，则.

令，显然在上单调递减.

∵，，∴在上必存在一点，使得，

∴当时，，即，∴在上单调递增，

当时，，即，∴在上单调递减.

∴在上的最小值只可能在端点处的取得.

∵，，∴.∴.

综上所述.