Question

函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）在一个周期内图象如图所示，其最高点为M，最低点为N，与x轴正半轴交点为P，在△MNP中，∠MNP=30°，MP=2．
（1）判断△MNP的形状，并给予证明；
（2）求函数f（x）的解析式，并求f（x）最大值及此时x的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）在一个周期内图象最高点为M，最低点为N，与x轴正半轴交点为P，△MNP中，∠MNP=30°，MP=2我们易得MN=4，利用正弦定理求了∠MPN的大小，即可判断△MNP的形状．
（2）由（1）中结论，我们易同M点及P点的坐标，代入分别计算出函数的最值，周期，进而求出A，ω，φ的值，即可得到函数的解析式，进而求出f（x）最大值及此时x的值．

解答：解：由函数的对称性知：MN=2MO=2MP，∵MP=2，∴MN=4…（3分）
在△MNP中，

MN

sin∠MPN

=

MP

sin∠MNP

，∴

4

sin∠MNP

=

2

sin300

解得：sin∠MPN=1…（5分）∴∠MPN=90°，所以△MNP为直角三角形；…（6分）
（2）由（1）得：△MOP为等边三角形，…（7分）
故M(1，

3

)，P(2，0)…（8分）
∴A=

3

，T=4，∵ω＞0，∴ω=

2π

4

=

π

2

∴f(x)=

3

sin

π

2

x…（10分）
f（x）最大值为

3

，此时

π

2

x=2kπ+

π

2

，即x=4k+1(k∈Z)…（13分）

点评：本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角形形状的判断，其中（1）的关键是根据函数图象的对称性质，求出MN=4，（2）的关键是根据（1）中结论计算出函数的最值，周期，进而求出A，ω，φ的值．