题目内容
已知函数f（x）=4
sinxcosx-5sin2x-cos2x+3．
（Ⅰ）当x∈[0，
]时，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
=
，
=2+2cos（A+C），求f（B）的值．
| 3 |
（Ⅰ）当x∈[0，
| π |
| 2 |
（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
| b |
| a |
| 3 |
| sin(2A+C) |
| sinA |
考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理
专题：三角函数的图像与性质,解三角形
分析：（I）利用平方关系、倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性即可得出；
（II）利用两角和差的正弦公式、正弦定理、余弦定理即可得出．
（II）利用两角和差的正弦公式、正弦定理、余弦定理即可得出．
解答：
解：（Ⅰ）f（x）=4
sinxcosx-5sin2x-cos2x+3=2
sin2x-
+3=2
sin2x+2cos2x=4sin（2x+
）．
∵x∈[0，
]，
∴2x+
∈[
，
]，
∴f（x）∈[-2，4]．
（Ⅱ）由条件得 sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
化简得 sinC=2sinA，
由正弦定理得：c=2a，
又b=
a，
由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=3a2+4a2-4
a2cosA，解得：cosA=
，
故解得：A=
，B=
，C=
，
∴f（B）=f（
）=4sin
=2．
| 3 |
| 3 |
| 5-5cos2x+1+cos2x |
| 2 |
| 3 |
| π |
| 6 |
∵x∈[0，
| π |
| 2 |
∴2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
∴f（x）∈[-2，4]．
（Ⅱ）由条件得 sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
化简得 sinC=2sinA，
由正弦定理得：c=2a，
又b=
| 3 |
由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=3a2+4a2-4
| 3 |
| ||
| 2 |
故解得：A=
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
∴f（B）=f（
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
点评：本题考查了平方关系、倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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