Question

18．函数$f（x）=4{sin^2}\frac{x}{2}sin（{x-\frac{π}{2}}）+2cosx-1-|{lg（{x+1}）}|$的零点个数为（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 9

Answer 1

分析 利用诱导公式以及二倍角公式化简函数的解析式，考查两个函数的图象，频道零点个数即可．

解答 解：函数$f（x）=4{sin^2}\frac{x}{2}sin（{x-\frac{π}{2}}）+2cosx-1-|{lg（{x+1}）}|$
=2cosx（1-2sin²$\frac{x}{2}$）-1-|lg（x+1）|
=2cos²x-1-|lg（x+1）|
=cos2x-|lg（x+1）|．
函数$f（x）=4{sin^2}\frac{x}{2}sin（{x-\frac{π}{2}}）+2cosx-1-|{lg（{x+1}）}|$的零点，就是cos2x-|lg（x+1）|=0的根．
即：y=cos2x，与y=|lg（x+1）|解得的个数．
如图：

lg|3π+1|＞lg10=1，
两个函数的图象的交点有6个．
故选：B．

点评 本题考查函数的零点个数的判断，数形结合思想的应用，考查转化思想以及计算能力．