Question

7．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（π-x）sin（$\frac{π}{2}$+x）+2cos²x-1．
（1）求函数f（x）的最大值和最小值，并求取得最大值和最小值时对应的x的值．
（2）设方程f（x）=m在区间（0，π）内有两个相异的实数根x₁，x₂，求x₁+x₂的值．
（3）如果对于区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的任意一个x，都有f（x）-a≤1成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的恒等变换，将f（x）化简成f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），再求f（x）的最大值和最小值，
（2）根据函数图象，找到m的取值范围，观察x₁和x₂的关系，写出x₁+x₂的值，
（3）根据定义域求得f（x）的取值范围，再求a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=2$\sqrt{3}$sin（π-x）sin（$\frac{π}{2}$+x）+2cos²x-1，
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x，
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
f（x）的最大值为2，x取得最大值对应的x的值x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
f（x）的最小值为-2，x取得最小值对应x的值x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，
（2）f（x）=m，sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{m}{2}$，

f（x）=m在（0，π）内有相异的两个实数根x₁，x₂，?f（x）与$\frac{m}{2}$有两个不同的交点，
$\frac{1}{2}＜\frac{m}{2}＜1$或$-1＜\frac{m}{2}＜\frac{1}{2}$，
由图象可知：当x∈（0，$\frac{π}{3}$）函数y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{6}$对称，
x₁+x₂=2×$\frac{π}{3}$；
当x∈（$\frac{π}{3}$，π），函数y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{2π}{3}$对称，
x₁+x₂=2×$\frac{2π}{3}$=$\frac{4π}{3}$，
（3）f（x）-a≤1，即a≥f（x）-1，
x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴f（x）∈[$-\frac{1}{2}$，1]，
∴a≥0．

点评 本题考查根据三角恒等变换，化简求函数的最值，根据定义域求函数的取值范围，属于中档题．