Question

15．已知$\widehat{CD}$是以O为圆心，以1为半径的四分之一圆，四边形OABC为正方形，P为$\widehat{CD}$上一动点，PE⊥AB于E．
（Ⅰ）当点P为$\widehat{CD}$中点时，求△APE的面积；
（Ⅱ）当点P在$\widehat{CD}$上运动时，设∠PAB=θ，将y=AE+PE写成y=f（θ）并求f（θ）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接OP，由P为$\widehat{CD}$的中点，得出∠POC=45°，利用三角函数求出AE与PE的值，即可得出△APE的面积；
（Ⅱ）由∠PAB=θ，得出∠POD=∠APO=∠APE=$\frac{π}{2}$-θ，求出，利用三角函数求出AE与PE的值，即可得出y的解析式，
再根据θ的取值范围求出f（θ）的值域．

解答 解：（Ⅰ）连接OP，如图所示：
∵P为$\widehat{CD}$的中点，
∴PF=OP•sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
OF=OP•cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴△APE的面积S=$\frac{1}{2}$AE•PE=$\frac{1}{2}$•OF•（PF+FE）=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1）=$\frac{1+\sqrt{2}}{4}$；
（Ⅱ）当点P在$\widehat{CD}$上运动时，设∠PAB=θ，则θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]；
∴∠POD=$\frac{π}{2}$-θ，
∴∠APO=∠APE=$\frac{π}{2}$-θ，
∴∠POC=$\frac{π}{2}$-2（$\frac{π}{2}$-θ）=2θ-$\frac{π}{2}$，
∴PF=OP•sin（2θ-$\frac{π}{2}$）=-cos2θ，
∴PE=PF+FE=-cos2θ+1，
AE=OP•cos（2θ-$\frac{π}{2}$）=sin2θ，
∴y=AE+PE=sin2θ+（-cos2θ+1）=$\sqrt{2}$sin（2θ-$\frac{π}{4}$）+1，
即y=f（θ）=$\sqrt{2}$sin（2θ-$\frac{π}{4}$）+1，θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]；
∴2θ-$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴sin（2θ-$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴$\sqrt{2}$sin（2θ-$\frac{π}{4}$）+1∈[2，$\sqrt{2}$+1]，
即f（θ）的值域是[2，$\sqrt{2}$+1]．

点评 本题考查了三角函数的化简与计算问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．