Question

1．（1）若对于任意的实数满足|x-1|+|x-3|≥a²+a恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若a+b=1，求$\frac{1}{4|b|}$+$\frac{|b|}{a}$的最小值，并指出取得最小值时a的值；
（3）求y=$\frac{2a}{{{a^2}+1}}$，a∈[2，+∞）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的几何意义即可得到答案．
（2）由条件可得：$\frac{1}{4|b|}$+$\frac{|b|}{a}$的“1”用a+b替换，b＞0，b＜0，去掉绝对值，利用基本不等式求其最小值．比较即可得到答案
（3）等式两边取倒，得：$\frac{1}{y}=\frac{{a}^{2}+1}{2a}$，分离可得$\frac{a}{2}+\frac{1}{2a}=\frac{1}{y}$，利用基本不等式求其最小值，当且仅当a=1时取等号．而a≥2，则考虑其单调性即可得到范围．

解答 解：（1）根据绝对值的几何意义：
|x-1|+|x-3的最小值是2，|
要使|x-1|+|x-3|≥a²+a恒成立，只需2≥a²+a，
解得：-2≤a≤1
（2）∵a+b=1，
∴$\frac{1}{4|b|}$+$\frac{|b|}{a}$=$\frac{a+b}{4|b|}+\frac{|b|}{a}$=$\frac{a}{4|b|}+\frac{b}{4|b|}+\frac{|b|}{a}$
当b＞0时：$\frac{a}{4|b|}+\frac{b}{4|b|}+\frac{|b|}{a}$=$\frac{1}{4}+\frac{a}{4b}+\frac{b}{a}$$≥2\sqrt{\frac{a}{4b}•\frac{b}{a}}+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$当且仅当a=$\frac{2}{3}$，b=$\frac{1}{3}$时取等号）
当b＜0时：$\frac{a}{4|b|}+\frac{b}{4|b|}+\frac{|b|}{a}$=$\frac{a}{4b}+\frac{b}{a}-\frac{1}{4}$$≥2\sqrt{\frac{a}{4b}•\frac{b}{a}}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$（当且仅当a=2，b=-1时取等号）
由上述可知：$\frac{1}{4|b|}$+$\frac{|b|}{a}$的最小值为$\frac{3}{4}$，取得最小值时a的值等于2；
（3）y=$\frac{2a}{{{a^2}+1}}$，
等式两边取倒，得：$\frac{1}{y}=\frac{{a}^{2}+1}{2a}$，分离可得$\frac{a}{2}+\frac{1}{2a}=\frac{1}{y}$，
∵$\frac{a}{2}+\frac{1}{2a}≥2\sqrt{\frac{a}{2}•\frac{1}{2a}}=1$，当且仅当a=1时取等号．此时y的最大值为1．
而a≥2，则考虑其单调性
设：2≤a₁＜a₂
那么：f（a₂）-f（a₁）=$\frac{2{a}_{2}}{{1+{a}_{2}}^{2}}-\frac{2{a}_{1}}{1+{{a}_{1}}^{2}}$=$\frac{2{a}_{2}+2{a}_{2}{{a}_{1}}^{2}-2{a}_{1}-2{a}_{1}{{a}_{2}}^{2}}{（1+{{a}_{1}}^{2}）（1+{{a}_{2}}^{2}）}$
分母恒大于0，
化简分子，得：2（a₂-a₁）-2a₁a₂（a₂-a₁）=（2-2a₁a₂）（a_2-1a）＜0
∴f（a₂）-f（a₁）＜0      所以：a∈[2，+∞）y是单调减函数．
当a∈[2，+∞）时，y是单调减函数，
∴a=2时，y取得最大值，即：y=$\frac{2×2}{{1+2}^{2}}=\frac{4}{5}$
又∵a＞0，∴y=$\frac{2a}{{{a^2}+1}}$＞0
所以：y=$\frac{2a}{{{a^2}+1}}$，a∈[2，+∞）的取值范围是（0，$\frac{4}{5}$]

点评 本题考查了基本不等式的性质、绝对值不等式的解法，考查了计算能力，注意：当利用基本不等式求其最小值（或最大值）时，当且仅当取等号的值不在其范围内时．则考虑其单调性．属于基础题．