Question

6．若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n+a_n=2n，n∈N^*．
（1）证明：数列{a_n-2}为等比数列；
（2）求数列{S_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，a₁=1，当n≥2时，S_n-1+a_n-1=2（n-1），与原式相减，2a_n=a_n-1+2，即2（a_n-2）=a_n-1-2，a₁-2=-1，数列{a_n-2}是以-1为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
（2）由（1）可知，a_n-2=-（$\frac{1}{2}$）^n-1，代入即可求得S_n=2n-a_n=2n-2+（$\frac{1}{2}$）^n-1，根据等比数列及等差数列前n项和公式，即可求得数列{S_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）证明：当n=1时，S₁+a₁=2，即a₁=1，
∵S_n+a_n=2n①，
当n≥2时，S_n-1+a_n-1=2（n-1）②，
由①-②得，2a_n-a_n-1=2，
∴2a_n=a_n-1+2，
∴2（a_n-2）=a_n-1-2，
∵a₁-2=-1，
∴数列{a_n-2}是以-1为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
（2）解：由（1）得a_n-2=-（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴a_n=2-（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∵S_n+a_n=2n，
∴S_n=2n-a_n=2n-2+（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴T_n=[0+（$\frac{1}{2}$）0]+[2+（$\frac{1}{2}$）1]+…+[2n-2+（$\frac{1}{2}$）^n-1]，
=[0+2+4+…+（2n-2）]+[1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1]，
=$\frac{n（2n-2）}{2}$+$\frac{1-（{\frac{1}{2}）}^{n}}{1-\frac{1}{2}}$，
=n²-n-2-（$\frac{1}{2}$）^n-1．
∴数列{S_n}的前n项和T_n=n²-n-2-（$\frac{1}{2}$）^n-1．

点评 本题考查等比数列通项公式，考查等比数列和等差数列前n项和公式，考查计算能力，属于中档题．