Question

设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆方程．
（2）过点P（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，当△OAB面积最大时，求|AB|．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆的离心率和通径长及a²-b²=c²联立求出a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）由题意设出直线方程，和椭圆方程联立后利用弦长公式求出弦长，由点到直线距离公式求出原点O到直线l的距离，利用换元法借助于不等式求出面积取最大值时的直线的斜率，从而求出直线被椭圆所截得的弦长．
解答：解：（1）由，
又过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，
得，且a²-b²=c²，解得a²=2，b²=1．
所以椭圆方程为；
（2）根据题意可知，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=kx+2，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由方程组，消去y得关于x的方程（1+2k²）x²+8kx+6=0
由直线l与椭圆相交于A，B两点，则有△＞0，
即64k²-24（1+2k²）=16k²-24＞0，得
由根与系数的关系得
故
==
又因为原点O到直线l的距离，故△OAB的面积
令，则2k²=t²+3
所以，当且仅当t=2时等号成立，
即时，．
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的综合题，解答的关键是利用根与系数关系得到弦长，代入面积公式后借助于基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，属有一定难度题目．