Question

点P是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1外的任意一点，过点P的直线PA、PB分别与椭圆相切于A、B两点．
（1）若点P的坐标为（1，2），求直线AB的方程．
（2）设椭圆的左焦点为F，请问：当点P运动时，∠PFA与∠PFB是否总是相等？若是，请给出证明．

Answer 1

分析：（1）设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），利用导数可求得过点A的切线方程为

x1x

4

+

y1y

3

=1，由点P在切线上可得

x1

4

+

2y1

3

=1，同理，

x2

4

+

2y2

3

=1，由此可得AB方程；
（2）设点P的坐标为（m，n），由（1）知，

mx1

4

+

ny1

3

=1，问题转化为向量的夹角相等，利用向量夹角公式可得结论；

解答：解：（1）设点A的坐标为（x₁，y₁），
当y≥0时，由

x2

4

+

y2

3

=1得，y=

3(1- x2 4 )

，
则过点A的切线斜率k=y′|x=x1=

- 3 2 x1

2 3(1- x12 4 )

=-

3x1

4y1

，过点A的切线方程为：y-y₁=

-3x1

4y1

(x-x1)，
又

x12

4

+

y12

3

=1，则切线方程可整理为：

x1x

4

+

y1y

3

=1，
当y＜0时，同理可得切线方程为：

x1x

4

+

y1y

3

=1，
综上，过点A的切线方程为：

x1x

4

+

y1y

3

=1，
∵点P（1，2）在切线上，∴

x1

4

+

2y1

3

=1①，
设点B的坐标为（x₂，y₂），同理可得，

x2

4

+

2y2

3

=1②，
故由①②可得直线AB的方程为

x

4

+

2y

3

=1；
（2）当点P运动时，∠PFA与∠PFB总是相等的，
F（-1，0），设点P的坐标为（m，n），
则由（1）知，

mx1

4

+

ny1

3

=1，∴ny1=3(1-

mx1

4

)，
∵|AF|=2+

1

2

x1，

FA

•

FP

=（x₁+1，y₁）•（m+1，n）
=（m+1）（x₁+1）+ny₁=（m+1）（x₁+1）+3（1-

mx1

4

）
=

(m+4)(x1+4)

4

，
∴cos∠PFA=

1 4 (m+4)(x1+4)

(2+ 1 2 x1)•| FP |

=

m+4

2| FP |

，
同理，cos∠PFB=

m+4

2| FP |

，
∴cos∠PFA=cos∠PFB，
∴∠PFA=∠PFB．

点评：本题考查椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系，考查学生分析问题解决问题的能力．