题目内容
12．已知函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，其中$\overrightarrow{m}$=（sinωx+cosωx，$\sqrt{3}$cosωx），$\overrightarrow{n}$=（cosωx-sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若f（x）相邻两对称轴间的距离等于$\frac{π}{2}$．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=$\sqrt{5}$，f（${\frac{C}{2}$+$\frac{π}{6}}$）=$\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$，△ABC的面积为$2\sqrt{5}$，求边c的值．
分析 （Ⅰ）首先，结合平面向量数量积的坐标运算，化简函数f（x）的解析式，然后，结合周期公式，确定ω的值，从而可求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）及已知，先确定cosC的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC，然后结合三角形面积公式可求b，利用余弦定理即可得解c的长．
解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=m•n={cos^2}ωx-{sin^2}ωx+2\sqrt{3}cosωxsinωx$
=$cos2ωx+\sqrt{3}sin2ωx=2sin（{2ωx+\frac{π}{6}}）$，
由f（x）相邻两对称轴间的距离等于$\frac{π}{2}$，得T=π，
∴$T=\frac{2π}{2ω}=π$，得ω=1，
∴$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$．…（6分）
（Ⅱ）∵由$f（{\frac{C}{2}+\frac{π}{6}}）=2sin（{C+\frac{π}{3}+\frac{π}{6}}）=2cosC=\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$，
∴$cosC=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，
∴$sinC=\frac{2}{3}$，
又∵$a=\sqrt{5}$，△ABC的面积为$2\sqrt{5}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}•\sqrt{5}•b•\frac{2}{3}=2\sqrt{5}$，
∴求得b=6，
∵由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=21，
∴$c=\sqrt{21}$．…（12分）
点评 本题综合考查了三角恒等变换公式，平面向量数量积的运算等知识，考查了余弦定理及其运用等，属于中档题．
练习册系列答案
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