Question

15．已知函数f（x）=2sinx+tanx-ax．
（1）若曲线y=f（x）与x轴相切于原点，求a的值；
（2）若$x∈[{0\;\;，\;\;\frac{π}{2}}]$时，f（x）≥0成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（0）=0，求出a的值即可；
（2）令t=cosx，则$f'（x）=g（t）=2t+\frac{1}{t^2}-a$，t∈（0，1]，通过讨论a的范围求出函数g（t）的单调性，从而进一步确定a的范围即可．

解答 解：（1）$f'（x）=2cosx+\frac{1}{{{{cos}^2}x}}-a$，由f'（0）=0，解得a=3．
（2）$x∈[{0，\frac{π}{2}}）$，cosx∈（0，1]．
令t=cosx，则$f'（x）=g（t）=2t+\frac{1}{t^2}-a$，t∈（0，1]，$g'（t）=2-\frac{2}{t^2}≤0$，当且仅当t=1时取等号，
故t∈（0，1]时，g（t）单调递减，g（t）≥g（1）=3-a．
（ⅰ）若a≤3，则f′（x）≥0，仅当x=0时取等号，f（x）单调递增，f（x）≥f（0）=0．
（ⅱ）若a＞3，令h（x）=3tanx-ax，$h'（x）=\frac{3}{{{{cos}^2}x}}-a$，存在 ${x_0}∈[{0，\frac{π}{2}}）$，使得h'（x₀）=0，
且当x∈（0，x₀）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，h（x）＜h（0）=0，
因为 $x∈[{0，\frac{π}{2}}）$，sinx≤tanx，所以f（x）≤3tanx-ax，
故存在β∈（0，x₀），f（β）＜0，即f（x）≥0不能恒成立，所以a＞3不合题意．
综上所述，a的取值范围是（-∞，3]．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，换元思想，是一道中档题．