Question

对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数.
（Ⅰ）定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足：.
求证：(1)是数列的母函数；
(2)求数列的前项和.
（Ⅱ）已知是数列的母函数，且.若数列的前项和为，求证：.

Answer 1

（Ⅰ）(1) 由题知，，是数列的母函数
(2) （Ⅱ），，从而是以为首项，为公比的等比数列
又故当时，有
，化简得结论

试题分析：（Ⅰ）(1)由题知，且

.
是数列的母函数；
(2) 由(1) 知：是首项和公差均为的等差数列，故.
           ①
      ②
①-②得：.
.
（Ⅱ）由题知：，. .
从而是以为首项，为公比的等比数列.
.
又
故当时，有：

.
点评：求解本题首先要正确理解所给信息母函数的实质，将其性质代入相应的函数式中推理；第一问的数列求和用到了错位相减法，这种方法是数列求和题常用到的方法，其适用于通项公式为关于n的一次函数式与指数式的乘积形式的数列