Question

设f（α）=sin^xα+cos^xα，x∈{n|n=2k，k∈N₊}，利用三角变换，估计f（α）在x=2，4，6时的取值情况，猜想对x取一般值时f（α）的取值范围是

[

1

2k-1

，1]

．

Answer 1

分析：可求得x=2，4，6时f（α）的值，的取值范围，利用归纳法可求得2k∈N*时f（α）的取值范围．

解答：解：x=2，f（α）=sin²α+cos²α=1，
x=4，f（α）=sin⁴α+cos⁴α
=（sin²α+cos²α）²-2sin²α•cos²α
=（1-

1

2

sin²2α）∈[

1

2

，1]，
x=6，f（α）=sin⁶α+cos⁶α
=（sin²α+cos²α）（（sin²α+cos²α）²-3sin²α•cos²α）
=（1-

3

4

sin²2α）∈[

1

4

，1]，
…
∴x=2k∈N^*时f（α）的取值范围是

1

2k-1

≤f（α）≤1．
故答案为：

1

2k-1

≤f（α）≤1．

点评：本题考查三角函数的最值，考查二倍角公式的应用，考查综合分析与应用的能力，属于难题．