Question

【题目】已知数列的满足，前项的和为，且.

（1）求的值；

（2）设，证明：数列是等差数列；

（3）设，若，求对所有的正整数都有成立的的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）.

【解析】试题分析：(1)令得 (2) 因为，所以①.所以②，由②-①，得.因为，所以.所以，即，

即即可得证（3）由（2）知，因为，所以数列的通项公式为.因为，所以，所以，所以数列是常数列. 由，所以.所以.研究数列的单调性求出最小值，变量分离即可得解.

试题解析：

（1）令得.

（2）因为，所以①.

所以②，

由②-①，得.

因为，所以.

所以，即，

即，所以数列是公差为1的等差数列.

（3）由（2）知，因为，所以数列的通项公式为.

因为，所以，

所以，所以数列是常数列.

由，所以.

所以.

因为

所以数列为单调递增数列

当时， ，即的最小值为

由，所以，

而当时， 在递减， 递增，所以，

当且仅当或时取得，故.