Question

已知公比为3的等比数列{b_n}与数列{a_n}满足{b_n}=3an，n∈N^*，且a₁=1．
（1）判断{a_n}是何种数列，并给出证明；
（2）若c_n=

1

anan+1

，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）根据等比数列{b_n}的公比为3可得

bn+1

bn

=3，从而可求出a_n+1-a_n=1，根据等差数列的定义可判定；
（2）先求出数列{a_n}的通项，然后根据c_n=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，可利用裂项求和法进行求和即可．

解答：解：（1）∵等比数列{b_n}的公比为3
∴

bn+1

bn

=

3an+1

3an

=3an+1-an=3
∴a_n+1-a_n=1
∴{a_n}是等差数列
（2）∵a₁=1，a_n+1-a_n=1
∴a_n=n
则c_n=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴S_n=c₁+c₂+c₃+…c_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

∴数列{c_n}的前n项和为1-

1

n+1

点评：本题主要考查了等差数列的判定，以及裂项求和法求数列的和，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．